分形场景 (Fractal)

简介

分形场景示例

分形（Fractal）是 MathArt 中最核心、最强大的场景之一，让您能够探索和创造令人惊叹的数学艺术作品。分形是一种具有自相似性的几何图形——无论放大多少倍，都能看到与整体相似的图案结构。这种"无限嵌套"的特性，使得分形成为数学与艺术交汇处最迷人的领域之一。

本场景基于 GPU Fragment Shader 实现高性能渲染，支持 10 种内置分形公式、10 种专业着色算法、3 种渐变调色板模式，以及扰动算法（Perturbation）驱动的超高精度深度缩放。从经典的 Mandelbrot 集到独特的 Spiral Septagon，每一种公式都蕴含着深刻的数学之美。

说明：Symmetry Chaos 为独立场景链路，不属于本页分形公式面板。若要调优网页风格的对称混沌图像（如 Mercedes/Shield/Sunflower），请在 SymmetryChaos_* 场景中使用其专属参数与运行时设置入口。

核心能力：

GPU 高性能渲染：纯 GPU Fragment Shader 渲染，支持三种渲染策略（猜测/多次/单次），实时交互探索
10 种内置公式：涵盖幂函数族、牛顿族、有理函数族、超越函数族，从经典到高级一应俱全
10 种着色算法：包括平滑着色、分解着色、距离估算、轨道陷阱等专业算法
扰动算法深度缩放：基于 DoubleDouble 双精度浮点的参考轨道计算，支持 Ultra 级精度，可缩放至 10⁻⁸ 量级
三重调色板系统：手动调色板、IQ 余弦调色板、曲线调色板，配合 RGB/HSV 色彩空间插值
完整动画支持：参数振荡动画、缩放关键帧动画、渐变偏移动画，支持时间线编排

数学背景

什么是分形？

分形一词由数学家 Benoît B. Mandelbrot 于 1975 年在其著作 Les Objets Fractals 中首次提出，源自拉丁语 fractus（破碎的）。分形最显著的特征是自相似性：整体的结构在任意尺度上都以相似的形式重复出现。

在复动力系统（Complex Dynamical Systems）中，分形通过迭代映射产生。将复平面上的每个点作为初始值，反复应用同一个映射函数，根据迭代行为的差异，复平面被划分为不同的区域：

逃逸集（Escape Set）：迭代后趋向无穷的点集合，构成分形的外部区域
收敛集（Convergent Set）：迭代后收敛到有限值（不动点或周期轨道）的点集合，构成分形的内部区域
朱利亚集（Julia Set）：逃逸集与收敛集之间的边界，具有无限复杂的分形结构

Mandelbrot 集与 Julia 集

Mandelbrot 集是复动力系统研究中最著名的对象，由 Benoît Mandelbrot 于 1980 年首次用计算机绘制。其迭代公式为：

其中为迭代变量，为复平面上的参数点，为幂次（经典值为 2）。Mandelbrot 集研究的是参数空间：对于每个参数，判断从开始的迭代是否逃逸。

Julia 集与 Mandelbrot 集密切相关，由法国数学家 Gaston Julia 和 Pierre Fatou 在 1918-1919 年间独立研究。Julia 集使用相同的迭代公式，但研究的是动力空间：参数固定，对于不同的初始值，判断迭代是否逃逸。

Mandelbrot 集与 Julia 集之间存在深刻的对偶关系：Mandelbrot 集中的每个点都对应一个 Julia 集。当位于 Mandelbrot 集内部时，对应的 Julia 集是连通的；当位于 Mandelbrot 集外部时，对应的 Julia 集是完全不连通的（Cantor 尘）。

Newton 分形

Newton 分形基于牛顿求根算法（Newton's Method）。对于方程，牛顿迭代为：

其中为松弛系数（Relaxation Factor），默认值为 1。不同的初始值会收敛到方程的不同根，而收敛边界的划分产生了美丽的分形图案。与逃逸型分形不同，Newton 分形使用收敛判断而非逃逸判断。

历史背景

分形理论的发展贯穿了 20 世纪的数学史：

1918-1919：Gaston Julia 和 Pierre Fatou 独立研究了复迭代函数的动力学行为，奠定了 Julia 集的理论基础
1920s-1970s：分形理论长期处于数学界的边缘，因为其复杂结构难以用传统方法研究
1975：Benoît Mandelbrot 提出分形（Fractal）概念，并在 1980 年用计算机首次绘制了 Mandelbrot 集
1980s：计算机图形学的发展使得分形可视化成为可能，分形艺术开始兴起
2000s：扰动算法（Perturbation Theory）的引入使得深度缩放（Deep Zoom）成为现实，Karl Runmo 等人实现了 10⁻¹⁰⁰⁰ 量级的缩放

界面概览

所有控制项位于右侧的属性面板中，分为六个主要部分：

Geometry（几何）：选择分形公式、变体、调整公式参数、视图控制和渲染设置
Camera（相机）：控制观察视角
Formulas（公式）：显示数学公式和标注
Appearance（外观）：调整背景颜色、渐变调色板、着色算法和着色参数
Parameters（参数）：定义方程中使用的自定义常量（高级用法）
Animation（动画）：时间线与动画控制

配置指南

1. Geometry（几何设置）

几何设置

几何设置是分形场景的核心，决定了分形的基本形态、数学特性和渲染方式。

公式选择

系统提供 10 种内置分形公式，按核族（Kernel Family）分类如下：

幂函数族（POWER）

Mandelbrot（曼德博集）

最经典的分形图形，展现了复平面上的无限细节
迭代公式：
参数：幂次（power）、逃逸半径（bailout）、起始点（start_point）
支持变体：Mandelbrot / Julia
支持扰动算法：是
终止策略：逃逸（Escape）

Julia（朱利亚集）

与 Mandelbrot 密切相关，每个 Julia 集都对应 Mandelbrot 集中的一个点
迭代公式：，其中为固定的 Julia 种子值
参数：幂次（power）、逃逸半径（bailout）、起始点（start_point）、Julia 种子（julia_seed）
支持扰动算法：是
终止策略：逃逸（Escape）

Mandelbrot 和 Julia 共享同一迭代公式，区别在于参数的角色：Mandelbrot 中是复平面上的变量，Julia 中是固定常数。

牛顿族（NEWTON_GENERIC）

Newton（牛顿分形）

基于牛顿求根算法，展现数学方程求根过程的美丽图案
迭代公式：
参数：指数（exponent，支持复数）、松弛系数（relaxation）
支持扰动算法：是
终止策略：收敛（Convergence）
注意：Newton 分形使用收敛判断而非逃逸判断，着色参数设置与其他分形不同

Nova（新星分形）

Newton 分形的变体，在牛顿迭代中引入额外的项
迭代公式：
参数：指数（exponent，支持复数）、松弛系数（relaxation）、起始值（start_value）
支持变体：Mandelbrot / Julia
支持扰动算法：是
终止策略：收敛（Convergence）

有理函数族（RATIONAL）

Phoenix（凤凰分形）

具有火焰般的外观，色彩层次丰富
使用前一次迭代的值参与计算，产生独特的反馈效果
参数：指数 1（exponent1）、指数 2（exponent2）、扭曲（distortion）
不支持扰动算法，深度缩放时精度受限
终止策略：逃逸（Escape）

Magnet I & II（磁铁分形）

包含 Magnet I 和 Magnet II 两种，形状如同磁铁吸引
基于有理函数迭代，兼具逃逸和收敛特性
参数：扰动（perturbation）、参数（parameter）、收敛阈值（convergent_bailout）
不支持扰动算法
终止策略：混合（Hybrid），需同时设置逃逸和收敛阈值

Lambda（Lambda 分形）

展现参数空间的复杂结构
基于复数逻辑斯蒂映射：
参数：Lambda 系数（lambda）
不支持扰动算法
终止策略：逃逸（Escape）

Spiral Septagon（螺旋七边形）

具有螺旋和七边形特征的独特分形
基于有理函数迭代，需要奇点保护参数
参数：Phi、指数（exponent）、奇点保护阈值（singularity_guard）
不支持扰动算法
终止策略：逃逸（Escape）
注意：奇点保护阈值防止数值计算异常，建议不要修改默认值

超越函数族（TRANSCENDENTAL）

Complex Sin（复数正弦）

基于复数正弦函数的分形
迭代公式：
产生独特的超越函数分形图案
不支持扰动算法
终止策略：逃逸（Escape）

[截图占位: 展示不同公式的分形效果对比]

变体选择

某些分形公式支持 Mandelbrot 和 Julia 两种变体：

Mandelbrot 变体：在复平面上探索参数空间，每个点对应一个 Julia 集
Julia 变体：使用固定的 Julia 种子值，展现该种子对应的 Julia 集图案

当公式同时支持两种变体时，您可以在"变体"下拉菜单中切换。目前支持双变体的公式包括：Mandelbrot、Nova。

切换变体时，系统会自动同步公式参数。从 Mandelbrot 切换到 Julia 时，当前的 Julia 常数将被激活为迭代参数。

公式参数

每个分形公式都有其特定的参数，这些参数直接影响分形的形态。参数面板根据公式元数据动态生成，支持以下参数类型：

整数参数：如幂次（power）、对称度数等，使用步进输入框
浮点参数：如逃逸半径（bailout）、松弛系数（relaxation）等，使用数值输入框
复数参数：如 Julia 种子（julia_seed）、指数（exponent）等，拆分为实部（Re）和虚部（Im）两个输入框
布尔参数：使用开关切换

通用参数说明

参数	含义	类型	默认值	说明
power	幂次	整数/复数	2	控制分形的基本形态，p=2 为经典形态
bailout	逃逸半径	浮点	4.0	判断点是否逃逸的阈值
start_point	起始点	复数	(0, 0)	迭代起始点
julia_seed	Julia 种子	复数	因公式而异	定义 Julia 集的形态
relaxation	松弛系数	浮点	1.0	Newton/Nova 的收敛速度控制
exponent	指数	复数	因公式而异	Newton/Nova 的方程幂次
convergent_bailout	收敛阈值	浮点	1e-6	Magnet 的收敛判断阈值

技巧：在 Mandelbrot 集中点击某个点，可以快速将该点设置为 Julia 种子，这是探索 Julia 集最直观的方式。

视图控制

Center X/Y（中心位置）：定义视图的中心坐标，支持高精度显示（DoubleDouble 双精度），适合深度缩放
Zoom（缩放）：控制视图的放大倍数，数值越大看到的细节越多，可通过鼠标滚轮快速调整
Rotation（旋转）：控制视图的旋转角度（弧度），可创建旋转动画效果

注意：深度缩放（Zoom > 100）时需要启用扰动算法以保持精度。中心坐标使用 DoubleDouble 双精度表示，可精确到 10⁻³⁰ 量级。

渲染设置

渲染方法（Render Method）

MathArt 提供三种渲染方法，平衡质量和性能：

渲染方法	英文名	特点	适用场景
猜测渲染	Guessing	使用智能算法预测细节，速度最快	快速预览、参数探索
多次渲染	Multi Pass	先低分辨率后逐步提高，平衡响应与质量	交互式探索
单次渲染	One Pass	一次性全分辨率渲染，质量最高	最终输出

建议：在探索阶段使用 Guessing 或 Multi Pass，最终输出时切换到 One Pass 获得最佳质量。

扰动精度（Perturbation Precision）

扰动算法是一种高级渲染技术，允许超高精度的分形渲染。当缩放级别超过阈值时，系统会自动启用扰动算法：

精度级别	阈值	说明
Low	1.0e-2	快速渲染，精度较低，适合快速预览
Medium	1.0e-4	平衡精度和速度，适合大多数情况
High	1.0e-6	高精度渲染，适合中等深度缩放
Ultra	1.0e-8	最高精度，适合深度缩放，但需要更多计算资源

扰动算法支持情况：

公式	支持扰动	原因
Mandelbrot	✅	整数幂次，满足扰动条件
Julia	✅	整数幂次，满足扰动条件
Newton	✅	满足扰动条件
Nova	✅	满足扰动条件
Phoenix	❌	迭代依赖前一次值，不满足扰动条件
Magnet I/II	❌	有理函数迭代，不满足扰动条件
Lambda	❌	不满足扰动条件
Complex Sin	❌	超越函数，不满足扰动条件
Spiral Septagon	❌	有理函数，不满足扰动条件

2. Camera（相机控制）

调整观察视角和相机参数。分形场景始终为 2D 渲染，相机控制主要用于旋转和倾斜观察。

Phi（俯仰角）：相机的垂直角度，范围 0 到 π，默认 π/2（水平观察）
Theta（偏航角）：相机的水平角度，范围 0 到 2π，默认 0
Gamma（滚转角）：相机的旋转角度，范围 0 到 2π，默认 0

分形通常使用正上方俯视（Phi = 0 或 π）或水平观察（Phi = π/2）。结合时间线系统可以创建相机旋转动画。

3. Formulas（公式显示）

在场景中显示数学公式和方程，非常适合制作教学视频或展示分形的数学美感。

主方程显示

Show Main Equation（显示主方程）：开启/关闭主方程显示
- 系统会根据当前公式和参数自动生成公式文本
主方程位置：
- X：水平位置坐标
- Y：垂直位置坐标
- Scale：公式缩放比例
- Color：公式颜色

自定义公式

可以添加多个自定义公式到场景中：

添加公式：点击 "Add Formula" 按钮添加新公式
公式内容：LaTeX 格式、X/Y 位置、缩放比例、颜色
删除公式：点击公式右上角的删除按钮移除

4. Appearance（外观设置）

外观设置让您完全掌控分形的视觉表现，从颜色到着色算法，打造独一无二的艺术作品。

外观设置

背景颜色

Background Color：设置渲染背景颜色
- 分形通常使用黑色或深色背景以突出细节

渐变调色板

渐变（颜色映射）是分形艺术的核心，决定了分形的色彩表现。MathArt 提供三种渐变模式：

手动调色板模式（Manual）

手动调色板

手动调色板让您精确控制每个颜色节点：

颜色节点：最多支持 25 个颜色节点
添加颜色：点击调色板下方的 "+" 按钮添加新颜色
删除颜色：双击某个颜色节点可以删除它（至少保留 2 个颜色）
调整颜色：点击颜色块打开颜色选择器
调整位置：拖动颜色节点改变其在渐变中的位置
随机生成：点击随机按钮生成随机调色板
反转：点击反转按钮反转颜色顺序

随机调色板策略：

策略	英文名	特点
单色	Monochromatic	基于单一色调的变化
类似色	Analogous	使用相邻色调
互补色	Complementary	使用对比色调
分裂互补色	Split Complementary	使用分裂互补色调

技巧：使用对比强烈的颜色可以突出分形细节；相邻颜色选择相近色调可创造平滑过渡；冷暖色调对比往往效果惊艳。

余弦调色板模式（Cosine）

余弦调色板

余弦调色板使用 IQ（Inigo Quilez）提出的数学公式生成平滑的渐变效果：

参数	含义	作用
Bias (A)	基础颜色值	控制颜色通道的基准值
Amplitude (B)	颜色变化幅度	控制颜色通道的变化范围
Frequency (C)	颜色变化频率	控制颜色循环的次数
Phase (D)	颜色变化起始相位	控制颜色循环的起始位置

每个参数都可以分别调整红、绿、蓝三个颜色通道。

余弦调色板特别适合创造彩虹般平滑的色彩过渡效果。调整频率可以控制颜色循环的密度，使用随机按钮可以快速生成美观的调色板。

曲线调色板模式（Curve）

曲线调色板

曲线调色板提供最灵活的颜色控制方式，通过可编辑的贝塞尔曲线分别控制 R/G/B 三个通道：

添加控制点：在曲线上单击空白区域添加新控制点
删除控制点：双击控制点删除它（至少保留 2 个点）
移动控制点：拖动控制点调整曲线形状
通道切换：分别编辑红、绿、蓝三个颜色通道

使用 S 形曲线可以创造平滑的颜色过渡；为不同通道设置不同的曲线形状可以创造独特的色彩效果。

调色板空间

选择颜色插值的色彩空间：

RGB：在 RGB 色彩空间中插值，颜色过渡直接
HSV：在 HSV 色彩空间中插值，颜色过渡更自然和谐

HSV 空间通常能产生更和谐的色彩过渡效果，推荐用于大多数情况。

着色算法

着色算法决定了如何将迭代结果映射到颜色。MathArt 提供 10 种专业的着色算法，分为索引型（INDEX）和直接型（DIRECT）两大类：

[截图占位: 展示不同着色算法的效果对比]

内部着色（Inside Coloring）

内部着色应用于分形集合内部的点（未逃逸/收敛的点）：

算法	英文名	输出类型	说明
无	None	INDEX	使用固定颜色填充内部
基础	Basic	INDEX	基于迭代次数的简单着色，支持多种度量方式
平滑 Mandelbrot	Smooth Mandelbrot	INDEX	产生平滑的颜色过渡，消除色带
分解	Decomposition	INDEX	基于角度的着色，展现复数的相位信息
二进制分解	Binary Decomposition	INDEX	基于符号的二值化着色
距离估算	Distance Estimator	INDEX	基于到集合边界的距离着色
直接域	Direct Domain	DIRECT	直接使用复数值作为颜色
直接轨道陷阱	Direct Orbit Trap	DIRECT	基于轨道陷阱的着色
直接归一化 Z	Direct Normalized Z	DIRECT	归一化后的复数值着色
轨道陷阱索引	Orbit Trap (Index)	INDEX	基于轨道陷阱的索引着色

外部着色（Outside Coloring）

外部着色应用于分形集合外部的点（逃逸的点），提供与内部着色相同的算法选择，但通常使用不同的参数设置。

对于 Mandelbrot/Julia 集，外部着色通常比内部着色更重要。Smooth Mandelbrot 是最常用的外部着色算法，能产生平滑的色彩过渡。

着色参数

每种着色算法都有其特定的参数，分为通用参数和算法特定参数：

通用参数

颜色密度（Color Density）

控制颜色变化的频率
较大的值会产生更多的颜色循环
建议范围：0.1 - 10.0

传递函数（Transfer Function）

控制迭代值到颜色索引的映射方式：

传递函数	英文名	效果
无	None	直接使用原始值
线性	Linear	线性映射
平方	SQR	增强高值区域
平方根	SQRT	增强低值区域
立方	CUBE	强烈增强高值区域
立方根	CUBEROOT	强烈增强低值区域
对数	LOG	压缩高值区域，展现更多细节
指数	EXP	扩展高值区域
正弦	SIN	产生周期性变化
反正切	ARCTAN	平滑过渡

技巧：使用 LOG 传递函数可以展现更多细节；SQR 和 CUBE 适合突出分形的主要结构；SQRT 和 CUBEROOT 适合展现细微的细节。

渐变偏移（Gradient Offset）

调整颜色在渐变中的起始位置
用于微调颜色分布

重复渐变（Repeat Gradient）

勾选：颜色循环重复
不勾选：超出范围部分使用固定颜色

固定颜色（Solid Color）

当不重复渐变时，超出范围部分使用的颜色

算法特定参数

Basic 着色

度量（Metric）：选择用于着色的度量方式
- ITERATION：迭代次数
- REAL：实部值
- IMAGINARY：虚部值
- SUM：实部和虚部的和

Smooth Mandelbrot 着色

指数（Exponent）：通常与分形的幂次相同，支持复数值
幂次（Power）：影响平滑度
逃逸半径（Bailout）：应与分形设置中的逃逸半径一致

Binary Decomposition 着色

分解类型（Decomposition Type）：
- TYPE_1：基于实部符号
- TYPE_2：基于虚部符号

Distance Estimator 着色

幂次（Power）：应与分形的幂次一致

Direct Domain 着色

缩放（Scale）：颜色缩放因子
伽马（Gamma）：伽马校正值
饱和度（Saturation）：颜色饱和度

Direct Orbit Trap 着色

陷阱形状（Trap Shape）：点、环、十字
陷阱半径（Trap Radius）：陷阱大小
陷阱中心（Trap Center）：陷阱位置
旋转（Rotation）：陷阱旋转角度
纵横比（Aspect Ratio）：陷阱形状比例
阈值（Threshold）：陷阱激活阈值
混合因子（Mix Factor）：渐变混合比例
合并不透明度（Merge Opacity）：轨道合并透明度

5. Parameters（参数）

定义方程中使用的自定义常量，属于高级用法。大多数情况下，公式参数面板已经提供了所有必要的参数控制。

动画和时间线

分形场景支持强大的动画功能，让您创建动态的分形艺术作品。

参数振荡动画

参数振荡动画通过 FractalParameterAnimator 实现，可以让参数在指定范围内做周期性正弦振荡。

工作原理

为每个参数指定振荡的步长（step）、范围（min, max）和边沿缓动（edge easing）
参数值在 [min, max] 范围内做正弦振荡：value = mid + amp * sin(phase)
振荡速度由步长和步长缩放因子（step scale）共同控制
边沿缓动确保参数接近范围边界时减速，避免突变

可动画化的参数

所有公式参数均支持动画化，包括：

视图参数：Center X/Y、Zoom、Rotation
迭代参数：Iterations、Bailout
Julia 参数：Julia Cx/Cy
公式特定参数：根据公式类型动态决定

参数模式

动画器支持四种参数模式：

SCALAR：标量参数，如迭代次数、逃逸半径
COMPLEX_FULL：复数参数，实部和虚部同时振荡
COMPLEX_REAL：复数参数，仅实部振荡
COMPLEX_IMAG：复数参数，仅虚部振荡

缩放动画

创建令人惊叹的缩放动画，这是分形场景最具特色的动画类型：

特点：

支持高精度坐标，可以创建深度缩放动画
使用对数插值，缩放变化更自然
支持缩放感知的中心点移动

创建缩放动画：

添加缩放动画片段
设置起始和结束的缩放级别
设置目标中心位置
调整动画曲线控制缩放速度

技巧：使用指数缩放曲线可以创造更自然的缩放效果；深度缩放时建议启用高精度扰动算法。

渐变动画

渐变动画让颜色随时间变化：

调色板偏移（Palette Offset）：整体偏移调色板位置
内部渐变偏移（Inside Gradient Offset）：偏移内部着色的渐变
外部渐变偏移（Outside Gradient Offset）：偏移外部着色的渐变

配置方法

通过 JSON 配置文件中的 timeline 数组定义动画序列：

json

{
  "timeline": [
    {
      "type": "wait",
      "duration": 5,
      "label": "Wait",
      "easing": "SINE_IN_OUT"
    }
  ]
}

[截图占位: 展示时间线面板和动画设置]

性能与最佳实践

目标	迭代次数	渲染方法	扰动精度	着色算法
快速探索	100-300	Guessing	Low/Medium	Basic
交互式调整	300-500	Multi Pass	Medium/High	Smooth Mandelbrot
高质量输出	500-2000	One Pass	High/Ultra	Smooth Mandelbrot / DE
深度缩放	1000+	One Pass	Ultra	Smooth Mandelbrot

性能优化技巧

迭代次数：
- 探索时使用较低值（100-300），找到满意构图后再提高
- 迭代次数与渲染时间近似线性关系
渲染方法：
- 交互时使用 Multi Pass，输出时使用 One Pass
- Guessing 最快但可能丢失细节
着色算法：
- Basic 着色渲染最快
- Direct 系列算法需要额外计算，渲染稍慢
- Distance Estimator 需要导数计算，渲染最慢
扰动算法：
- 仅在深度缩放时自动启用
- 更高的精度级别需要更多计算资源和内存
- 不支持扰动的公式在深度缩放时会出现精度损失
调色板：
- 手动调色板和余弦调色板渲染效率相同
- Gradient LUT 在 CPU 端预计算，对渲染性能影响极小

常见问题

分形看起来很模糊

问题：渲染结果模糊，细节不清晰

原因：迭代次数不足或缩放级别过高导致精度损失

解决方案：

增加迭代次数（建议 300 以上）
使用扰动算法提高精度（High 或 Ultra）
检查渲染方法设置，One Pass 质量最高
确认逃逸半径设置合理（通常为 4.0）

颜色出现明显色带

问题：分形颜色出现条纹状色带，不够平滑

原因：着色算法或传递函数选择不当

解决方案：

使用 Smooth Mandelbrot 着色算法替代 Basic
选择 LOG 或 SQRT 传递函数
使用 HSV 调色板空间
尝试余弦或曲线调色板模式

渲染速度太慢

问题：分形渲染耗时过长

原因：参数设置过高或渲染方法不当

解决方案：

降低迭代次数
使用 Guessing 或 Multi Pass 渲染方法
简化着色算法（Basic 最快）
降低扰动精度（如果不需要深度缩放）
关闭扰动算法（浅层缩放时不需要）

深度缩放出现像素化

问题：深度缩放后画面出现方块状像素

原因：浮点精度不足，标准双精度浮点在缩放超过 10¹³ 倍后精度耗尽

解决方案：

确保使用支持扰动的公式（Mandelbrot、Julia、Newton、Nova）
设置扰动精度为 High 或 Ultra
对于不支持扰动的公式，深度缩放精度受限是数学上的固有限制

如何找到有趣的分形细节

建议：

从 Mandelbrot 集开始探索
缩放到边界区域——最丰富的细节总在边界上
寻找螺旋、海马、象鼻等经典结构
使用不同的着色算法突出细节
尝试不同的公式和参数组合
调整颜色密度和传递函数改变视觉表现

如何创建 Julia 集

步骤：

选择支持 Julia 变体的公式（如 Mandelbrot、Nova）
在变体下拉菜单中选择 "Julia"
调整 Julia 种子参数
技巧：在 Mandelbrot 集中点击某个点，可以快速将该点设置为 Julia 种子

经典分形示例

Mandelbrot 集（默认配置）

以下为 MathArt 内置的 Mandelbrot 示例配置（mandelbrot.json）：

公式：Mandelbrot
变体：MANDELBROT
幂次：2
逃逸半径：4
迭代次数：300
中心：(-0.7, 0)
缩放：0.5
旋转：0
渲染方法：Multi Pass
扰动精度：Ultra

调色板（16 色）：

#2A2A32 → #304A58 → #376B7E → #3E8CA4 → #52ACB6 → #8AB5BC → #C2BEC2 → #CCC79A
→ #D4B75B → #DB8F1C → #B86707 → #753F0C → #332211 → #251915 → #17111A → #10081F

着色配置：

外部着色：Basic（度量=ITERATION，颜色密度=3，传递函数=LINEAR）
内部着色：None（固定颜色=#000000）

Julia 集（海马谷附近）

公式：Mandelbrot
变体：JULIA
幂次：2
Julia 种子：(-0.8123, 0.016)
逃逸半径：4
迭代次数：500

Newton 分形（三根）

公式：Newton
指数：3（实数）
松弛系数：1.0
迭代次数：200

Nova 分形（五根）

公式：Nova
变体：MANDELBROT
指数：5（实数）
松弛系数：1.0
起始值：(1, 0)
迭代次数：300

技术细节

GPU 渲染管线

分形场景使用 GPU Fragment Shader 渲染管线，核心流程如下：

Shader 编译：
- ShaderCompilationManager 根据公式注册信息动态编译 Fragment Shader
- 采用部件拼接架构：22 个 GLSL 部件按需拼接，注入 #define 宏
- 编译结果缓存，避免重复编译
渲染执行：
- 设置所有 uniform（中心、缩放、旋转、迭代、公式参数、着色参数）
- 判定是否启用扰动算法
- 如需扰动：计算参考轨道 → 打包 RGBA32F 纹理 → 上传 GPU
- 生成 Gradient LUT 纹理（1024 采样点）
- 绘制全屏 QUAD，Fragment Shader 逐像素计算
着色流程：
- Fragment Shader 执行公式迭代
- 根据着色算法计算颜色索引或直接颜色
- 通过 Gradient LUT 或 Cosine Palette 采样获得最终颜色

扰动算法

扰动算法（Perturbation Theory）是深度缩放的核心技术，由 Pauldelbrot 等人于 2013-2014 年在 fractalforums.com 社区提出：

工作原理：

在 CPU 端使用 DoubleDouble 双精度计算参考点的完整轨道
将参考轨道以 RGBA32F 纹理上传 GPU
GPU 端对每个像素，基于参考轨道进行扰动迭代
避免了深度缩放时标准双精度浮点的精度损失

精度判定：

公式必须支持扰动（满足特定数学条件）
幂次必须为整数
缩放级别超过阈值（zoom > 100）
迭代次数 > 0

公式注册系统

公式系统采用注册表驱动的插件式架构：

FormulaRegistry：全局公式注册表（ConcurrentHashMap），单例模式
FormulaMetadata：描述公式的完整能力与参数，UI 层据此自动生成编辑器
StandardFormulaCatalog：注册 10 种内置公式
FormulaDomainService：构建运行时状态、判定扰动可用性、参数打包

着色算法注册系统

着色算法同样采用注册表模式：

ColoringRegistry：全局着色算法注册表
ColoringMetadata：描述着色算法的输出类型、适用域、参数定义
StandardColoringCatalog：注册 10 种内置着色算法
ColoringRuntimeMapper：解析请求 ID、校验参数、返回映射结果

颜色系统三重体系

调色板直传：最多 16 色调色板以 u_palette uniform 传入 shader
Cosine Palette：IQ 风格余弦调色板，参数 a/b/c/d 通过 uniform 传入
Gradient LUT：CPU 端预计算 1024 点查找表，以 RGB32F 纹理上传 GPU，支持 RGB/HSV 插值

创作技巧

参数探索

从经典公式开始：Mandelbrot 是最好的起点，边界区域蕴含无限细节
缩放到边界：分形最丰富的细节总在逃逸集与收敛集的边界上
调整幂次：改变幂次可以创造不同形态的变体，p=3 产生三重对称
探索 Julia 集：在 Mandelbrot 集边界附近选择 Julia 种子，往往能发现精美的图案

视觉调优

着色方案：
- 先选择合适的着色算法（Smooth Mandelbrot 是最通用的选择）
- 再调整传递函数（LOG 适合展现细节，SQR 适合突出结构）
- 最后微调颜色密度和渐变偏移
色彩搭配：
- 使用余弦调色板快速生成和谐的色彩方案
- 深色背景配合高饱和度色彩通常效果最佳
- HSV 色彩空间插值通常比 RGB 更和谐
细节突出：
- Distance Estimator 着色可以清晰展现分形边界
- 增大颜色密度可以展现更多层次
- Orbit Trap 着色可以创造独特的艺术效果

动画设计

缩放动画：
- 这是最具分形特色的动画类型
- 选择一个有趣的目标点，设置起始和结束缩放级别
- 使用指数缩放曲线使缩放速度更自然
- 深度缩放时务必启用高精度扰动
参数振荡：
- 为 Julia 种子设置振荡动画，观察图案的形态演变
- 为幂次设置振荡，创造形态渐变效果
- 边沿缓动确保参数在范围边界处平滑过渡
渐变动画：
- 渐变偏移动画可以让颜色"流动"起来
- 配合缩放动画使用，效果更加震撼

注意事项

扰动算法限制：
- 并非所有公式都支持扰动算法
- Phoenix、Magnet、Lambda、Complex Sin、Spiral Septagon 不支持扰动
- 不支持扰动的公式在深度缩放时精度受限，这是数学上的固有限制
迭代次数与质量：
- 迭代次数过低会导致细节丢失，表现为大面积的纯色区域
- 迭代次数过高会显著增加渲染时间，但未必带来可见的改善
- 建议从较低值开始，逐步提高直到细节不再增加
逃逸半径设置：
- 逃逸半径影响逃逸判断的灵敏度
- 过小的逃逸半径可能导致本应逃逸的点被误判为集合内部
- 过大的逃逸半径会浪费迭代次数
- 经典 Mandelbrot 集的逃逸半径通常设为 4.0（即 |z|² > 4）
Newton/Nova 的收敛判断：
- 这两个公式使用收敛判断而非逃逸判断
- 内部着色对 Newton/Nova 更重要
- 收敛速度的差异可以产生丰富的色彩层次
Magnet 分形的混合终止策略：
- Magnet 公式同时具有逃逸和收敛特性
- 需要同时设置逃逸半径和收敛阈值
- 两个阈值的平衡对渲染结果影响显著

进阶主题

理解扰动算法的数学原理

标准双精度浮点数约有 15-16 位有效数字。当缩放级别超过 10¹³ 倍时，相邻像素之间的距离小于浮点精度，导致所有像素计算出相同的迭代值——这就是"像素化"的原因。

扰动算法的核心思想是：选择一个参考点，用高精度计算其完整轨道，然后对附近的点，用标准精度计算扰动：

由于通常远小于，标准精度足以表示的有效数字，从而避免了精度损失。

Mandelbrot 集与 Julia 集的对偶关系

Mandelbrot 集可以看作是 Julia 集的"目录"：对于 Mandelbrot 集中的每个点，都存在一个对应的 Julia 集。当位于 Mandelbrot 集内部时，是连通的；当位于 Mandelbrot 集外部时，是完全不连通的（Cantor 尘）。

Mandelbrot 集边界附近的点对应的 Julia 集最为复杂和美丽。这就是为什么在 Mandelbrot 集边界附近选择 Julia 种子往往能产生最精美的图案。

着色算法的数学原理

Smooth Mandelbrot 着色使用归一化迭代计数来消除色带：

其中是逃逸时的迭代次数，是幂次。这个公式将离散的迭代次数映射为连续值，从而实现平滑的颜色过渡。

Distance Estimator 着色基于到分形集合边界的距离估算：

其中是对的导数。距离越小的点越接近集合边界，渲染为不同的亮度可以突出边界的精细结构。

创造自定义分形图案

虽然 MathArt 使用预设公式，但通过巧妙调整参数，您可以创造出丰富多变的分形图案：

从经典 Mandelbrot 集开始，缩放到感兴趣的边界区域
切换到 Julia 变体，将当前视图中心设为 Julia 种子
微调 Julia 种子的实部和虚部，观察图案的细微变化
尝试不同的幂次值，探索非经典形态
使用 Newton/Nova 公式，调整指数和松弛系数创造全新的图案
利用参数振荡动画探索参数空间中的连续变化

参考资源

数学理论

Benoît B. Mandelbrot - The Fractal Geometry of Nature (1982)
Gaston Julia - Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles (1918)
Pierre Fatou - Sur les équations fonctionnelles (1919-1920)
Heinz-Otto Peitgen & Peter H. Richter - The Beauty of Fractals (1986)

在线资源

Wikipedia: Mandelbrot Set
Wikipedia: Julia Set
Wikipedia: Newton Fractal
Inigo Quilez - Cosine Palettes — 余弦调色板公式参考
Fractal Forums — 分形爱好者社区

扰动算法

Pauldelbrot - Perturbation Theory for the Mandelbrot Set (2013-2014, fractalforums.com)
Karl Runmo - Deep Zoom Technology — 实现了 10⁻¹⁰⁰⁰ 量级的缩放

分形场景 (Fractal) ​

简介 ​

数学背景 ​

什么是分形？ ​

Mandelbrot 集与 Julia 集 ​

Newton 分形 ​

历史背景 ​

界面概览 ​

配置指南 ​

1. Geometry（几何设置） ​

公式选择 ​

幂函数族（POWER） ​

牛顿族（NEWTON_GENERIC） ​

有理函数族（RATIONAL） ​

超越函数族（TRANSCENDENTAL） ​

变体选择 ​

公式参数 ​

通用参数说明 ​

视图控制 ​

渲染设置 ​

渲染方法（Render Method） ​

扰动精度（Perturbation Precision） ​

2. Camera（相机控制） ​

3. Formulas（公式显示） ​

主方程显示 ​

自定义公式 ​

4. Appearance（外观设置） ​

背景颜色 ​

渐变调色板 ​

手动调色板模式（Manual） ​

余弦调色板模式（Cosine） ​

曲线调色板模式（Curve） ​

调色板空间 ​

着色算法 ​

内部着色（Inside Coloring） ​

外部着色（Outside Coloring） ​

着色参数 ​

通用参数 ​

算法特定参数 ​

5. Parameters（参数） ​

动画和时间线 ​

参数振荡动画 ​

工作原理 ​

可动画化的参数 ​

参数模式 ​

缩放动画 ​

渐变动画 ​

配置方法 ​

性能与最佳实践 ​

推荐配置 ​

性能优化技巧 ​

常见问题 ​

分形看起来很模糊 ​

颜色出现明显色带 ​

渲染速度太慢 ​

深度缩放出现像素化 ​

如何找到有趣的分形细节 ​

如何创建 Julia 集 ​

经典分形示例 ​

Mandelbrot 集（默认配置） ​

Julia 集（海马谷附近） ​

Newton 分形（三根） ​

Nova 分形（五根） ​

技术细节 ​

GPU 渲染管线 ​

扰动算法 ​

公式注册系统 ​

着色算法注册系统 ​

颜色系统三重体系 ​

创作技巧 ​

参数探索 ​

视觉调优 ​

动画设计 ​

注意事项 ​

进阶主题 ​

理解扰动算法的数学原理 ​

Mandelbrot 集与 Julia 集的对偶关系 ​

着色算法的数学原理 ​

创造自定义分形图案 ​

参考资源 ​

分形场景 (Fractal)

简介

数学背景

什么是分形？

Mandelbrot 集与 Julia 集

Newton 分形

历史背景

界面概览

配置指南

1. Geometry（几何设置）

公式选择

幂函数族（POWER）

牛顿族（NEWTON_GENERIC）

有理函数族（RATIONAL）

超越函数族（TRANSCENDENTAL）

变体选择

公式参数

通用参数说明

视图控制

渲染设置

渲染方法（Render Method）

扰动精度（Perturbation Precision）

2. Camera（相机控制）

3. Formulas（公式显示）

主方程显示

自定义公式

4. Appearance（外观设置）

背景颜色

渐变调色板

手动调色板模式（Manual）

余弦调色板模式（Cosine）

曲线调色板模式（Curve）

调色板空间

着色算法

内部着色（Inside Coloring）

外部着色（Outside Coloring）

着色参数

通用参数

算法特定参数

5. Parameters（参数）

动画和时间线

参数振荡动画

工作原理

可动画化的参数

参数模式

缩放动画

渐变动画

配置方法

性能与最佳实践

推荐配置

性能优化技巧

常见问题

分形看起来很模糊

颜色出现明显色带

渲染速度太慢

深度缩放出现像素化

如何找到有趣的分形细节

如何创建 Julia 集

经典分形示例

Mandelbrot 集（默认配置）

Julia 集（海马谷附近）

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Nova 分形（五根）

技术细节

GPU 渲染管线

扰动算法

公式注册系统

着色算法注册系统

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