域着色 (Domain Coloring)

简介

域着色示例

域着色（Domain Coloring）是一种将复变函数可视化的经典方法——它为复平面上的每一个点着色，让我们能够"看见"复数世界中函数的全貌。从黎曼的共形映射理论到现代的分形探索，域着色将抽象的复分析转化为直观的视觉体验，使得零点、极点、支点等复分析核心概念变得一目了然。

核心能力：

自由公式输入：支持 25 种复数函数，可输入任意复变函数表达式，实时编译为 GPU 着色器
迭代分形系统：内置三种种子模式（Mandelbrot 风格、Julia 风格、Newton 风格），支持自定义迭代公式
等值线可视化：四种等值线模式（相位、模、相位+模、无），精细控制条纹密度与锐度
调色板系统：支持手动、余弦和曲线三种渐变模式，配合 JSON 调色板实现丰富的色彩表达
完整动画支持：参数振荡动画、域旋转动画、渐变动画，支持边缘缓动实现平滑过渡
GPU/CPU 双路径渲染：GPU 优先，失败自动降级 CPU，确保兼容性

数学背景

什么是域着色？

复变函数 f(z) 将一个复数 z 映射为另一个复数 w = f(z)。与实值函数不同，复变函数的图像无法直接在二维平面上绘制——因为输入和输出都是二维的。域着色通过在复平面上为每个点 z 着色来解决这个问题：颜色编码了 f(z) 的信息。

具体来说，域着色利用了复数的两个基本属性：

模（Modulus）：|f(z)| 的大小，表示函数值的"距离"
辐角（Argument）：arg(f(z)) 的角度，表示函数值的"方向"

域着色的着色原理

域着色最常用的方案是 相位-模着色法：

相位着色：将 f(z) 的辐角 arg(f(z)) 映射到色相环（Hue Wheel）。辐角从 -π 到 +π 对应色相从红色经绿色、蓝色回到红色，形成一个完整的彩虹环。这样，相同辐角的点具有相同的色相。
模着色：将 f(z) 的模 |f(z)| 映射为亮度变化。通过条纹化的方式，模的等值线呈现为同心环状图案，帮助识别函数的增长和衰减。

通过等值线（Level Curve）参数的精细调节，你可以控制相位条纹和模条纹的密度、锐度和混合方式，从而获得从柔和渐变到锐利等高线的各种视觉效果。

域着色中的关键特征

在域着色图像中，你可以直观地识别以下复分析中的重要特征：

特征	视觉表现	数学含义
零点	所有颜色汇聚于一点，色相环完整绕行	f(z₀) = 0，辐角绕零点旋转
极点	颜色反向汇聚，色相环反向绕行	f(z₀) → ∞，模趋向无穷
支点	颜色不连续跳变	多值函数的分支切割处
鞍点	颜色呈十字交叉状	函数的临界点

小知识：零点处色相环绕行的圈数等于零点的阶数。例如，f(z) = z³ 在 z = 0 处有三阶零点，色相环会绕行三圈——这在域着色图像中表现为颜色变化加速三倍。

历史背景

域着色的概念可以追溯到 20 世纪 80 年代末。数学家 Frank Farris 在 1997 年的论文中系统性地推广了这一方法，将其作为复分析教学的可视化工具。在此之前，复变函数的可视化主要依赖于等高线图和剖面图，无法展示函数的全貌。

随着计算机图形学的发展，域着色从教学工具逐渐演变为数学艺术创作的媒介。通过选择不同的复变函数、调节等值线参数和调色板，可以创造出令人惊叹的视觉图案——从优雅的极点结构到复杂的分形边界，每一幅域着色图像都蕴含着深刻的数学结构。

界面概览

所有控制项位于右侧的属性面板中，分为五个主要部分：

Geometry（几何）：输入复变函数公式、调整视口、配置迭代系统
Settings（设置）：切换 GPU/CPU 渲染模式
Formulas（公式）：显示数学公式和标注
Appearance（外观）：调整背景颜色、等值线参数和渐变调色板
Parameters（参数）：定义公式中使用的自定义常量

注意：域着色是纯 2D 场景，不显示 Camera（相机）面板。

配置指南

1. Geometry（几何设置）

几何设置

公式输入

公式输入是域着色的核心。你可以在此输入任意复变函数表达式，系统会实时将其编译为 GPU 着色器并渲染。

支持的变量：

变量	含义	说明
`z`	像素复数坐标	代表复平面上当前像素的位置
`i`	虚数单位	i² = -1
`pi`	圆周率 π	≈ 3.14159
`e`	自然常数 e	≈ 2.71828
`c`	复数常量	由公式参数 a + bi 定义
自定义参数	如 `t`, `a`, `b` 等	在 Parameters 面板中定义

支持的运算符：

运算符	示例	说明
`+`	`z + 1`	复数加法
`-`	`z - i`	复数减法
`*`	`z * i`	复数乘法（可省略：`2z` = `2*z`）
`/`	`1/z`	复数除法
`^`	`z^3`	复数幂运算

支持的函数（25 种）：

类别	函数	说明
三角函数	`sin`, `cos`, `tan`	复数三角函数
反三角函数	`asin`, `acos`, `atan`, `acot`, `asec`, `acsc`	复数反三角函数
双曲函数	`sinh`, `cosh`, `tanh`	复数双曲函数
反双曲函数	`asinh`, `acosh`, `atanh`, `acoth`, `arsech`	复数反双曲函数
指数/对数	`exp`, `log`, `ln`	复数指数与对数
其他	`sqrt`, `abs`, `arg`, `conj`, `pow`, `re`, `im`	开方、绝对值、辐角、共轭、幂、实部、虚部

公式示例：

公式	说明
`z^3 - 1`	三次多项式，有三个零点
`sin(z)/cos(z)`	正切函数 tan(z)
`1/z`	倒数函数，z=0 处有极点
`exp(1/z)`	本性奇点，z=0 处有丰富结构
`z^(a+3i)`	复数幂，参数 a 控制幂次
`sin(z-i)/sin(z+i)`	正弦函数的极点平移
`sqrt(1-1/z^2+z^3)`	含开方的复合函数

提示：修改公式后需要点击"应用"按钮才会生效，因为公式变更需要重新编译着色器。

视口控制

视口控制决定了复平面的观察范围：

Center X / Center Y：视口中心在复平面上的坐标
- 默认值：(0, 0)
- 步长：0.05，精度 6 位小数
- 提示：可以通过鼠标拖拽画布来平移视口
Scale：缩放比例
- 默认值：2.5
- 范围：0.000001 ~ 无上限
- 值越小，观察范围越大（缩小）；值越大，观察范围越小（放大）
- 提示：可以通过鼠标滚轮来缩放视口

操作技巧：鼠标拖拽平移 + 滚轮缩放是最快的探索方式，比手动输入坐标更直观。

迭代系统

迭代系统是域着色的高级功能，它将单次函数求值扩展为多次迭代，从而可以生成分形图案。

迭代设置

启用迭代

勾选"启用迭代"开关后，系统会对每个像素执行多次迭代计算，而非仅计算一次 f(z)。

迭代步数

Steps：迭代步数，范围 1 - 64
步数越多，分形细节越丰富，但计算量也越大
建议从 8-15 步开始，逐步增加观察效果变化

种子模式

种子模式决定了迭代的初始值：

模式	初始值	典型用途	示例
PIXEL_Z	像素坐标 z	Mandelbrot 集风格	`w₀ = z`, `w_{k+1} = w_k² + c`
ZERO	0	Julia 集风格	`w₀ = 0`, `w_{k+1} = w_k² + z`
CONSTANT_C	常量 c	Newton 分形风格	`w₀ = c`, `w_{k+1} = (w_k³-1)/(3w_k²) + c`

理解种子模式：
PIXEL_Z 模式下，每个像素的迭代起点就是该像素在复平面上的坐标。这是最直观的模式，适合探索 Mandelbrot 集及其变体。
ZERO 模式下，所有像素都从 0 开始迭代，但 z 作为参数参与迭代公式。这适合生成 Julia 集图案。
CONSTANT_C 模式下，迭代起点是常量 c（由公式参数定义），适合 Newton 法求根等应用。

迭代公式

迭代公式使用 w 变量表示当前迭代值，z 表示像素坐标：

迭代公式	说明
`w^2 + c`	经典 Mandelbrot/Julia 迭代
`(w^3-1)/(3*w^2) + c`	Newton 法求 z³=1 的根
`sin(w)cos(w)/(1+w)`	三角迭代
`sin(w + z^2)`	复合迭代
`w`	恒等迭代（仅使用初始公式的结果）

注意：当迭代公式为 w 时，系统仅使用初始公式 f(z) 的结果作为迭代的输出，配合较高的迭代步数可以产生平滑的累积效果。

2. Settings（设置）

设置面板

域着色的设置面板非常简洁，仅提供渲染模式切换：

GPU 模式（默认）：使用 OpenGL 着色器实时渲染，性能最佳
CPU 模式：使用 CPU 逐像素计算，作为 GPU 模式的降级方案

建议：始终使用 GPU 模式以获得最佳性能。仅在 GPU 渲染出现问题时切换到 CPU 模式。

3. Formulas（公式显示）

在场景中显示数学公式和方程标注。

主方程显示

Show Main Equation（显示主方程）：开启/关闭主方程显示
- 开启后，系统会根据当前公式自动在场景中显示 LaTeX 公式
位置与样式：
- X / Y：公式在场景中的位置坐标
- Scale：公式缩放比例
- Color：公式文字颜色

自定义公式

可以添加多个自定义公式到场景中：

点击 "Add Formula" 按钮添加新公式
每个公式支持 LaTeX 内容、位置、缩放和颜色设置
点击公式右上角的删除按钮移除

4. Appearance（外观设置）

外观设置1

背景颜色

Background Color：设置渲染背景颜色
- 域着色通常使用深色背景（如 #05070D 或 #000000）以突出函数的颜色信息

等值线（Level Curve）

等值线是域着色最核心的视觉控制参数，它决定了如何将函数的相位和模信息转化为可见的条纹图案。

曲线模式

模式	说明	适用场景
PHASE	仅显示相位条纹	突出函数的辐角变化，观察零点和极点的色相环
MODULUS	仅显示模条纹	突出函数的模变化，观察等模线
PHASE_MODULUS	同时显示相位和模条纹	最常用的模式，兼顾相位和模信息
NONE	不显示等值线	纯色相映射，适合欣赏整体色彩

推荐：初学者建议使用 PHASE_MODULUS 模式，它提供了最丰富的信息。当你想专注于观察零点/极点的色相结构时，切换到 PHASE 模式。

相位密度（Phase Density）

范围：0.01 ~ 无上限
默认值：12.0
步长：0.5
作用：控制相位条纹的密度。值越大，条纹越密集，颜色变化越频繁
建议：
- 低值（3-5）：宽条纹，适合观察大范围色相变化
- 中值（8-15）：标准密度，兼顾细节与可读性
- 高值（30+）：细密条纹，产生类似等高线的效果

模密度（Mod Density）

范围：0.01 ~ 无上限
默认值：8.0
步长：0.5
作用：控制模条纹的密度。值越大，同心环状条纹越密集
建议：
- 低值（5-8）：宽环，适合观察模的整体变化趋势
- 中值（10-18）：标准密度
- 高值（50+）：细密环纹，精细展示模的变化

相位锐度（Phase Sharpness）

范围：0.01 ~ 无上限
默认值：1.0
步长：0.1
作用：控制相位条纹的锐利程度。值越大，条纹边界越清晰；值越小，条纹越柔和
建议：
- 0.1-0.4：柔和渐变，色彩过渡平滑
- 0.5-1.0：标准锐度
- 1.0+：锐利条纹，等值线清晰可辨

模锐度（Mod Sharpness）

范围：0.01 ~ 无上限
默认值：1.0
步长：0.1
作用：控制模条纹的锐利程度，效果与相位锐度类似

曲线偏置（Curve Bias）

范围：-1.0 ~ 1.0
默认值：0.15
步长：0.05
作用：调整等值线的整体亮度偏移。正值增亮，负值减暗
建议：通常保持接近 0 的值即可；微调可改善特定函数的视觉效果

曲线混合度（Curve Mix）

范围：0% ~ 100%（0.0 ~ 1.0）
默认值：100%（1.0）
作用：控制等值线与纯色相映射的混合比例
- 0%：纯色相映射，无等值线效果
- 100%：完全显示等值线
建议：大多数情况下保持 90%-100%；降低混合度可获得更柔和的视觉效果

渐变调色板

域着色使用 1D LUT（查找表）纹理进行着色，支持三种渐变模式：

Manual（手动模式）：
- 手动添加、删除和调整颜色节点
- 支持拖拽重排颜色顺序
- 可选择随机策略（单色、类似色、互补色、分裂互补色）
Cosine（余弦模式）：
- 使用 IQ 余弦调色板公式：color(t) = a + b · cos(2π(c·t + d))
- 分别控制 R/G/B 三个通道的偏移、振幅、频率和相位
- 支持一键随机化和应用
Curve（曲线模式）：
- 通过可编辑的贝塞尔曲线分别控制 R/G/B 三个通道
- 提供最灵活的颜色控制
- 支持一键随机化和应用

调色板选择建议：
经典域着色使用彩虹色板（红→黄→绿→青→蓝→品红→红），对应色相环
单色系调色板可以突出等值线结构
对比色调色板可以强调零点和极点的位置

5. Parameters（参数）

定义公式中使用的自定义常量。当公式中包含参数（如 t, a, b 等）时，需要在此面板中定义它们的值。

添加参数：在底部输入参数名和初始值，点击添加按钮
修改参数：直接修改参数的数值
删除参数：点击参数右侧的删除按钮

重要：公式中使用的参数必须先在 Parameters 面板中定义，否则公式验证会报错。参数值支持在动画中动态变化。

动画和时间线

域着色支持丰富的动画效果，可以通过时间线系统创建连续的动画序列。

动画类型

域着色支持两种时间线动画类型：

Wait（等待）：保持当前状态一段时间
Animate（动画）：执行一组动画动作

可用的动画方法

方法	说明	参数
`domainRotate`	域旋转动画	`rotation_speed`：旋转速度（浮点数，默认 0.2）
`paramStart`	启动参数振荡动画	参数配置（见下文）
`paramStop`	停止参数振荡动画	无
`gradientStart`	启动渐变动画	渐变配置（见下文）
`gradientStop`	停止渐变动画	无

参数振荡动画

参数振荡动画让参数在指定范围内做周期性正弦振荡，是域着色最强大的动画功能。

工作原理

为每个参数指定振荡的步长（step）、范围（min, max）和边沿缓动（edge easing）
参数值在 [min, max] 范围内做正弦振荡：value = mid + amp × sin(phase)
振荡速度由步长和步长缩放因子共同控制
边沿缓动确保参数接近范围边界时减速，避免突变

可动画化的参数

参数	说明	默认动画范围
`scale`	视口缩放	0.5 ~ 1.5
`phaseDensity`	相位密度	5.0 ~ 10.0
`modDensity`	模密度	5.0 ~ 10.0
`phaseSharpness`	相位锐度	0.001 ~ 2.0
`modSharpness`	模锐度	0.001 ~ 2.0
自定义参数	如 `t`, `a` 等	-100 ~ 100

边沿缓动

边沿缓动（Edge Easing）控制参数在振荡极值处的速度变化，避免硬性反弹：

window：缓动窗口大小（0-1），值越大缓动区间越宽
floor：缓动最低速度比例（0-1），0 表示完全停止
easing：缓动函数类型（如 SINE_OUT, QUAD_OUT 等）

域旋转动画

域旋转动画让整个复平面绕原点旋转，产生万花筒般的视觉效果：

旋转速度为浮点数，正值顺时针旋转，负值逆时针旋转
典型值：0.1（缓慢旋转）~ 0.5（快速旋转）

渐变动画

渐变动画让调色板循环偏移，产生色彩流动效果：

mode：渐变模式，如 HUE_ROTATE（色相旋转）
speed：动画速度
interpolation：颜色插值模式（RGB, LINEAR, OKLAB, OKLCH）
affectInside / affectOutside：是否影响等值线内外区域

配置方法

通过 JSON 配置文件中的 timeline 数组定义动画序列：

json

{
  "timeline": [
    { "type": "wait", "duration": 1 },
    {
      "type": "animate", "duration": 15, "easing": "SINE_IN_OUT",
      "actions": [
        { "method": "domainRotate", "args": [0.1] },
        {
          "method": "paramStart",
          "args": [{
            "targetDomain": "SURFACE",
            "parameters": {
              "t": { "step": 0.005, "min": 0.6, "max": 1.7,
                     "edgeEasing": { "window": 0.35, "floor": 0.4, "easing": "QUAD_OUT" } },
              "phaseDensity": { "step": 0.005, "min": 5, "max": 14 },
              "modDensity": { "step": 0.005, "min": 2, "max": 7 }
            }
          }]
        }
      ]
    },
    { "type": "wait", "duration": 30 }
  ]
}

经典域着色示例

示例 1：三次多项式

最经典的域着色示例，展示三个零点的色相环结构。

公式：z^3 - 1
视口：中心 (0, 0)，缩放 0.8
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 20，模密度 17

解读：三个零点分别位于 1, e^{2πi/3}, e^{4πi/3}，在图像中表现为三个颜色汇聚点，每个点周围色相环完整绕行一圈。

示例 2：正弦函数的极点平移

展示正弦函数极点的对称平移效果。

公式：sin(z-i)/sin(z+i)
视口：中心 (0, 0)，缩放 0.3
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 4，模密度 16

示例 3：参数化正弦函数

通过参数 t 控制正弦函数的偏移，适合制作动画。

公式：sin(z-1)/sin(z+t i)
参数：t = 0.95
视口：中心 (0, 0)，缩放 0.6
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 4.5，模密度 13.5
动画：参数 t 在 [2, -2] 范围振荡

示例 4：复数幂

复数幂产生螺旋状的域着色图案，极具视觉冲击力。

公式：z^(a+3i)
参数：a = 1
视口：中心 (0, 0)，缩放 2.6
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 4.5，模密度 13.5
动画：参数 a 在 [1, 3] 范围振荡

示例 5：Newton 分形

使用 Newton 迭代法求 z³ = 1 的根，生成经典的 Newton 分形图案。

公式：z（恒等映射）
迭代：启用，种子模式 CONSTANT_C，步数 8
迭代公式：(w^3-1)/(3*w^2) + c
视口：中心 (0, 0)，缩放 0.5
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 13，模密度 7

Newton 分形

解读：Newton 法将复平面分为三个区域（对应三个根），每个区域用不同颜色表示。区域边界呈现分形结构——无论放大多少倍，边界都保持复杂的细节。

示例 6：三角迭代

使用三角函数迭代生成的分形图案。

公式：z（恒等映射）
迭代：启用，种子模式 PIXEL_Z，步数 45
迭代公式：sin(w)cos(w)/(1+w)
逃逸半径：64
视口：中心 (-0.5, 0)，缩放 0.5
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 10，模密度 6

示例 7：ZERO 种子迭代

从零开始迭代，生成 Julia 集风格的图案。

公式：z（恒等映射）
迭代：启用，种子模式 ZERO，步数 27
迭代公式：sin(w + z^2)
逃逸半径：1024
视口：中心 (0, 0)，缩放 1.2
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 9，模密度 5

示例 8：有理函数

有理函数的域着色展示了零点和极点的交织结构。

公式：((z^2 - 1)(z - 2 - i)^2) / (z^2 + 2 + 2i)
视口：中心 (0, 0)，缩放 0.3
等值线：PHASE_MODULUS，相位密度 5，模密度 18

技术细节

GPU 渲染管线

域着色使用单遍 GPU 渲染管线：

顶点着色器：执行 MVP 变换，传递 UV 坐标
片段着色器（核心渲染逻辑）：
- UV → 复平面坐标映射（含宽高比校正和旋转）
- 公式求值（含迭代）
- 溢出保护（|f(z)|² > 10²⁴ 时标记为溢出）
- 计算模和辐角
- 生成相位条纹和模条纹（基于余弦函数）
- 调色板采样 + 等值线混合 + 偏置

动态着色器编译

域着色最精巧的技术实现是动态着色器编译：

公式解析：ComplexExpressionParser 将字符串公式（如 z^3 - tan(t*z)）解析为抽象语法树（AST）
GLSL 代码生成：AST 转换为 GLSL 表达式（如 c_sub(c_pow_int(z, 3), c_mul(c_tan(c_mul(t, z)), vec2(1.0, 0.0)))）
着色器注入：在标准着色器源码中插入动态公式宏和参数声明
缓存机制：通过比较上次编译的 GLSL 代码避免重复编译

复数运算库

着色器内置完整的 GLSL 复数运算库，包含 25 个复数函数，Java 端和 GLSL 端完全对应，确保 CPU 和 GPU 路径的计算结果一致。

创作技巧

公式探索

从简单开始：先尝试 z^2、1/z、sin(z) 等基本函数，理解域着色的视觉语言
组合函数：将基本函数组合，如 sin(z)/cos(z) = tan(z)，观察零点和极点的关系
引入参数：在公式中加入参数 t，如 z^3 - tan(t*z)，然后通过动画让参数变化
尝试迭代：启用迭代系统，使用 w^2 + c 等迭代公式生成分形

视觉调优

等值线调节：
- 先选择 PHASE_MODULUS 模式获得完整信息
- 调整相位密度和模密度让条纹疏密适中
- 调整锐度让条纹边界清晰但不刺眼
- 微调混合度和偏置获得最佳视觉效果
调色板选择：
- 彩虹色板：最经典的域着色配色，对应色相环
- 暖冷色板：突出零点（暖色）和极点（冷色）的对比
- 单色系色板：突出等值线结构，弱化色相信息
视口控制：
- 使用鼠标拖拽和滚轮快速定位感兴趣的区域
- 放大零点或极点附近可以观察到精细的分形结构

动画设计

参数振荡：
- 为公式中的参数 t 设置振荡动画，观察函数形态的连续变化
- 同时振荡 phaseDensity 和 modDensity，产生"呼吸"效果
- 使用边沿缓动避免参数在极值处的突变
域旋转：
- 配合参数振荡使用域旋转，产生旋转万花筒效果
- 旋转速度建议 0.05-0.2，过快会让人眩晕
渐变动画：
- 使用 HUE_ROTATE 模式让调色板循环流动
- OKLAB 插值模式比 RGB 模式产生更自然的色彩过渡

常见问题

画面全黑或全白

问题：渲染结果完全黑色或完全白色

原因：函数在某些区域值过大或过小，导致颜色信息被压缩

解决方案：

调整 Scale（缩放）改变观察范围
调整等值线参数：增大 phaseDensity 和 modDensity
检查公式是否在当前视口范围内有定义（如 1/z 在 z=0 处无定义）

公式编译失败

问题：输入公式后提示编译错误

原因：公式语法不正确或使用了不支持的函数

解决方案：

确保使用支持的函数名（区分大小写）
确保所有使用的参数已在 Parameters 面板中定义
检查括号是否匹配
使用 * 表示乘法（2z 可以省略，但 z(z+1) 建议写成 z*(z+1)）

迭代结果不理想

问题：启用迭代后图像效果不如预期

原因：迭代参数配置不当

解决方案：

尝试不同的种子模式（PIXEL_Z / ZERO / CONSTANT_C）
调整迭代步数（从 8-15 步开始）
检查迭代公式是否正确
调整逃逸半径（默认 1,000,000，某些函数可能需要更小的值）

着色器编译卡顿

问题：修改公式后出现短暂卡顿

原因：公式变更需要重新编译 GPU 着色器

解决方案：

这是正常行为，编译通常在 0.5 秒内完成
仅公式和迭代公式的变更需要重编译，其他参数的修改可以实时更新

进阶主题

理解复变函数的局部行为

域着色是理解复变函数局部行为的强大工具：

零点：在零点附近，f(z) ≈ a·(z-z₀)ⁿ，色相环绕行 n 圈
极点：在极点附近，f(z) ≈ a/(z-z₀)ⁿ，色相环反向绕行 n 圈
本性奇点：在本性奇点附近（如 exp(1/z) 在 z=0），颜色变化极其剧烈，呈现"无限振荡"

Mandelbrot 集与 Julia 集的关系

通过域着色的迭代系统，你可以同时探索 Mandelbrot 集和 Julia 集：

Mandelbrot 集：使用 PIXEL_Z 种子模式，迭代公式 w^2 + c，其中 c 是常量。每个像素 z 作为初始值，c 作为参数
Julia 集：使用 ZERO 种子模式，迭代公式 w^2 + z，其中 z 是像素坐标。所有像素从 0 开始迭代，z 作为参数

两者的关系是：Mandelbrot 集中的每个点 c 对应一个 Julia 集。Mandelbrot 集内部的 c 产生连通的 Julia 集，外部的 c 产生不连通的 Julia 集（Fatou 尘）。

Newton 分形的数学原理

Newton 法求 f(z) = 0 的根时，迭代公式为：

对于 f(z) = z³ - 1，迭代公式为：

Newton 分形的迷人之处在于：虽然三个根是简单的点，但吸引域的边界却是无限复杂的分形——这是混沌与秩序共存的又一例证。

参考资源

数学理论

Tristan Needham - Visual Complex Analysis (1997) - 复分析可视化的经典教材
Elias Wegert - Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits (2012) - 域着色方法的系统论述
Frank Farris - "Visualizing complex-valued functions in the plane" (1997) - 域着色方法的推广论文

在线资源

Wikipedia: Domain Coloring
Wikipedia: Complex Analysis
Complex Analysis - MIT OpenCourseWare - MIT 复分析公开课

域着色 (Domain Coloring) ​

简介 ​

数学背景 ​

什么是域着色？ ​

域着色的着色原理 ​

域着色中的关键特征 ​

历史背景 ​

界面概览 ​

配置指南 ​

1. Geometry（几何设置） ​

公式输入 ​

视口控制 ​

迭代系统 ​

启用迭代 ​

迭代步数 ​

种子模式 ​

迭代公式 ​

2. Settings（设置） ​

3. Formulas（公式显示） ​

主方程显示 ​

自定义公式 ​

4. Appearance（外观设置） ​

背景颜色 ​

等值线（Level Curve） ​

曲线模式 ​

相位密度（Phase Density） ​

模密度（Mod Density） ​

相位锐度（Phase Sharpness） ​

模锐度（Mod Sharpness） ​

曲线偏置（Curve Bias） ​

曲线混合度（Curve Mix） ​

渐变调色板 ​

5. Parameters（参数） ​

动画和时间线 ​

动画类型 ​

可用的动画方法 ​

参数振荡动画 ​

工作原理 ​

可动画化的参数 ​

边沿缓动 ​

域旋转动画 ​

渐变动画 ​

配置方法 ​

经典域着色示例 ​

示例 1：三次多项式 ​

示例 2：正弦函数的极点平移 ​

示例 3：参数化正弦函数 ​

示例 4：复数幂 ​

示例 5：Newton 分形 ​

示例 6：三角迭代 ​

示例 7：ZERO 种子迭代 ​

示例 8：有理函数 ​

更多效果展示 ​

技术细节 ​

GPU 渲染管线 ​

动态着色器编译 ​

复数运算库 ​

创作技巧 ​

公式探索 ​

视觉调优 ​

动画设计 ​

常见问题 ​

画面全黑或全白 ​

公式编译失败 ​

迭代结果不理想 ​

着色器编译卡顿 ​

进阶主题 ​

理解复变函数的局部行为 ​

Mandelbrot 集与 Julia 集的关系 ​

Newton 分形的数学原理 ​

参考资源 ​

数学理论 ​

在线资源 ​

相关软件 ​

域着色 (Domain Coloring)

简介

数学背景

什么是域着色？

域着色的着色原理

域着色中的关键特征

历史背景

界面概览

配置指南

1. Geometry（几何设置）

公式输入

视口控制

迭代系统

启用迭代

迭代步数

种子模式

迭代公式

2. Settings（设置）

3. Formulas（公式显示）

主方程显示

自定义公式

4. Appearance（外观设置）

背景颜色

等值线（Level Curve）

曲线模式

相位密度（Phase Density）

模密度（Mod Density）

相位锐度（Phase Sharpness）

模锐度（Mod Sharpness）

曲线偏置（Curve Bias）

曲线混合度（Curve Mix）

渐变调色板

5. Parameters（参数）

动画和时间线

动画类型

可用的动画方法

参数振荡动画

工作原理

可动画化的参数

边沿缓动

域旋转动画

渐变动画

配置方法

经典域着色示例

示例 1：三次多项式

示例 2：正弦函数的极点平移

示例 3：参数化正弦函数

示例 4：复数幂

示例 5：Newton 分形

示例 6：三角迭代

示例 7：ZERO 种子迭代

示例 8：有理函数

更多效果展示

技术细节

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创作技巧

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视觉调优

动画设计

常见问题

画面全黑或全白

公式编译失败

迭代结果不理想

着色器编译卡顿

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